舒尔补

舒尔补是解方程经常用到的一个概念,这里做一下小小的总结。

假设一个$n\times n$的矩阵$\mathbf{M}$写成一个$2\times2$的块矩阵
$$\mathbf{M} =
\begin{pmatrix}
\mathbf{A} & \mathbf{B} \\
\mathbf{C} & \mathbf{D}
\end{pmatrix}
$$
其中,$\mathbf{A}$是一个$p\times p$矩阵,$\mathbf{D}$是一个$q \times q$矩阵,$p+q = n$($\mathbf{B}$是$p\times q$, $\mathbf{C}$是$q \times p$的矩阵)。
如果要求解下面的线性系统:
$$
\begin{pmatrix}
\mathbf{A} & \mathbf{B} \\
\mathbf{C} & \mathbf{D}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\mathbf{x}\\
\mathbf{y}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\mathbf{c}\\
\mathbf{d}
\end{pmatrix}
$$
也就是
$$
\begin{matrix}
\mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}\mathbf{y} = \mathbf{c} \\
\mathbf{C}\mathbf{x}+\mathbf{D}\mathbf{y} = \mathbf{d}
\end{matrix}
$$
如果$\mathbf{D}$可逆,通过高斯消去法,我们可以先求解$\mathbf{y}$
$$\mathbf{y} = \mathbf{D}^{-1} (\mathbf{d}-\mathbf{c}\mathbf{x})$$
然后将$\mathbf{y}$代入到第一个方程里,得到
$$ \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}\mathbf{D}^{-1} (\mathbf{d}-\mathbf{C}\mathbf{x}) = \mathbf{c}$$
$$ (\mathbf{A}- \mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C})\mathbf{x} = \mathbf{c} - \mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{d}$$
如果$\mathbf{A}- \mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}$可逆,我们可以得到线性系统的解:

$$
\begin{aligned}
\mathbf{x} =& (\mathbf{A}- \mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C})^{-1}(\mathbf{c} - \mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{d}) \\
\mathbf{y} =& \mathbf{D}^{-1}(\mathbf{d}- \mathbf{C}(\mathbf{A}- \mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C})^{-1}(\mathbf{c} - \mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{d})).
\end{aligned}
$$
矩阵$\mathbf{A}- \mathbf{B}\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}$称为矩阵$\mathbf{M}$中$\mathbf{D}$的舒尔补

同样的,如果矩阵$\mathbf{A}$可逆,我们可以得到矩阵$\mathbf{M}$中$\mathbf{A}$的舒尔补:$\mathbf{D}-\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B}$,如果舒尔补可逆,那么我们同样可以得到线性系统的解:
$$
\begin{aligned}
\mathbf{x} =&\mathbf{A}^{-1}(\mathbf{c}-\mathbf{B}(\mathbf{D}-\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B})^{-1}(\mathbf{d}-\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{c})) \\
\mathbf{y} =&(\mathbf{D}-\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{B})^{-1}(\mathbf{d}-\mathbf{C}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{c}).
\end{aligned}
$$

参考文献

The Schur Complement and Symmetric PositiveSemidefinite (and Definite) Matrices

文章目录
  1. 1. 参考文献
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